Lien entre convexité, f' et f''

Propriété

Soit  \(f\) une fonction définie et deux fois dérivable sur un intervalle \(I\) . On note \(\mathscr{C}_f\)  sa courbe représentative.

1. \(f \text{ est convexe sur } I \Leftrightarrow f' \text{ est croissante sur } I\Leftrightarrow f'' \text{ est positive sur } I .\)  
2. \(f \text{ est concave sur } I \Leftrightarrow f' \text{ est décroissante sur } I\Leftrightarrow f'' \text{ est négative sur } I .\)
3. \(\mathscr{C}_f\)  admet un point d'inflexion d'abscisse  \(a \Leftrightarrow f''\)  s'annule et change de signe en \(a\) .